推导过程如下：

利用极坐标与直角坐标的互换公式

x=ρcosα

y=ρsinα

带入

x²/a²+y²/b²=1

（ρcosα）

²/a²+（ρsinα）²/b²=1

扩展资料：

椭圆的极坐标系方程

函数：用极坐标系描述的曲线方程称作极坐标方程，通常表示为r为自变量θ的函数。

对称：极坐标方程经常会表现出不同的对称形式，如果r(−θ)

=r（θ）。

则曲线关于极点（0°/180°）对称，如果r(π−θ)

=

r(θ)，则曲线关于极点（90°/270°）对称，如果r(θ−α)

=

r(θ)，则曲线相当于从极点逆时针方向旋转α°。

椭圆的常见问题以及解法

例如：有一个圆柱，被截得到一个截面，下面证明它是一个椭圆（用上面的第一定义）：

将两个半径与圆柱半径相等的半球从圆柱两端向中间挤压，它们碰到截面的时候停止，那么会得到两个公共点，显然他们是截面与球的切点。

设两点为F1、F2

对于截面上任意一点P，过P做圆柱的母线Q1、Q2，与球、圆柱相切的大圆分别交于Q1、Q2

则PF1=PQ1、PF2=PQ2，所以PF1+PF2=Q1Q2

由定义1知：截面是一个椭圆，且以F1、F2为焦点

用同样的方法，也可以证明圆锥的斜截面（不通过底面）为一个椭圆

例：已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0）的离心率为√6/3，短轴一个端点到右焦点的距离为√3.

1．求椭圆C的方程.

2．直线l：y=x+1与椭圆交于A，B两点，P为椭圆上一点，求△PAB面积的最大值.

3．在⑵的基础上求△AOB的面积.

一

分析短轴的端点到左右焦点的距离和为2a，端点到左右焦点的距离相等（椭圆的定义），可知a=√3，又c/a=√6/3，代入得c=√2，b=√（a^2-c^2）=1，方程是x^2/3+y^2/1=1，

二

要求面积，显然以ab作为三角形的底边，联立x^2/3+y^2/1=1，y=x+1解得x1=0，y1=1，x2=-1.5，y2=-0.5.利用弦长公式有√（1+k^2））[x2-x1]（中括号表示绝对值）弦长=3√2/2，对于p点面积最大，它到弦的距离应最大。

假设已经找到p到弦的距离最大，过p做弦的平行线，可以

发现这个平行线是椭圆的切线是才会最大，这个切线和弦平行故斜率和弦的斜率=，设y=x+m，利用判别式等于0，求得m=2，-2.结合图形得m=-2.x=1.5，y=-0.5，p（1.5，-0.5），

三

直线方程x-y+1=0，利用点到直线的距离公式求得√2/2，面积1/2*√2/2*3√2/2=3/4， [2]