第一、被刑事拘留一个月，只能说明你曾涉嫌犯罪。

被刑事拘留一个月，只能证明一个事实：那就是公安机关曾经认为你涉嫌刑事犯罪，对你采取了刑事拘留强制措施，你那时的身份是犯罪嫌疑人，不是被告人，更不是罪犯，也就是说，公安机关掌握了一定的证据，证明你涉嫌犯罪，仅此而已。

第二、没被判刑就被放了，说明你不构成犯罪，或者法律无法证明你构成犯罪。

这可能存在以下几种情况：

1、公安机关发现有新的证据证明你不涉嫌犯罪，于是自行撤案了。

2、公安机关将案件移送检察机关审查逮捕时，检察机关认为你不构成犯罪，做出了不批准逮捕的决定，公安机关进行了撤案处理。

3、公安机关将案件移送检察机关审查逮捕时，检察机关认为认定你构成犯罪的证据不足，经过多次补充侦查，仍然证据不足，公安机关对你变更了强制措施，比如变更为取保候审或者监视居住，等取保候审或者监视居住到期后，仍没有取得新证据，案件不了了之。

4、检察机关对你做出了不起诉决定。

第三、题主的这种情况，公安机关应当给开具无犯罪记录证明。

2021年12月31日颁布的《公安机关办理犯罪记录查询工作规定》第二条规定：

本规定所称的犯罪记录，是指我国国家专门机关对犯罪人员的客观记载。除人民法院生效裁判文书确认有罪外，其他情况均应当视为无罪。

有关人员涉嫌犯罪，但人民法院尚未作出生效判决、裁定，或者人民检察院作出不起诉决定，或者办案单位撤销案件、撤回起诉、对其终止侦查的，属于无犯罪记录人员。

既然你可以开具无犯罪记录证明，那就说明你和其他人是一样的，都是合法公民，相应的，你的子女也不会受到区别对待。

第四、现实中的操作情况。

现实中，如果有权机关查到你曾有被刑事拘留的事实，一些享有较大自由裁量权的机关，可能会吹毛求疵，认为你是介于犯罪分子与守法公民之间的一种存在，从而影响到了你的子女，这种可能性是存在的。但这已经不是法律问题，而是社会问题，个人认为，这种概率是极低的，可以忽略不计。